कोरोनामुळे जगभरातील अर्थव्यवहार जवळपास ठप्प पडल्याने अब्जावधी रुपयांचे नुकसान होऊ घातले आहे. म्हणूनच या विषाणूप्रसाराचा गणितीय पद्धतीने अभ्यास आवश्यक ठरतो.
चीनच्या वुहान प्रांतात सुरू झालेल्या ‘कोविड-१९’ या कोरोना विषाणूने पाहता पाहता जगभर हातपाय पसरले. हा लेख लिहिताना जगातील १७७ देशांतील तीन लाखांपेक्षा अधिक लोकांना याचा संसर्ग झाला असून चौतीस हजाराहून अधिक लोकांना आपला जीव गमावावा लागला आहे. भारतातही हजाराहून अधिक जणांना प्रादुर्भाव झाला असून २९ जणांचा मृत्यु झाला आहे आणि हा प्रादुर्भाव वाढतच जाईल अशीही शक्यता व्यक्त करण्यात येत आहे. (संदर्भ- जॉन हॉपकिन्स कोव्हिड ट्रॅकर, भारताचे केंद्रीय आरोग्य मंत्रालय)
देशात आणि जगभर अर्थव्यवहार जवळपास ठप्प पडल्याने अब्जावधी रुपयांचे नुकसान होऊ घातले आहे. अशा परिस्थितीत पुढे काय होणार ही चिंता सामान्य लोकांपासून प्रशासनापर्यंत सर्वांनाच सतावत आहे. कोणत्याही विषाणूचा फैलाव कसा होइल हे पाहण्यासाठी अनेकदा गणिती प्रारुपांचा (मॉडेल्सचा) वापर केला जातो. तसे प्रारुप भारतीय व्यवस्थेसाठी तयार करण्याचा प्रयत्न या लेखकद्वयीने केला आहे.
(मूळ संशोधन निबंध या दुव्यावर मुक्तपणे उपलब्ध आहे.)
संसर्गजन्य रोगाची साथ कशी पसरते हे पाहण्यासाठी १९२७ मध्ये स्कॉटलंडमधील डॉ. करमॅक आणि डॉ. मॅककेंड्रीक ह्यांनी “S-I-R” नावाचे मॉडेल प्रथम विकसित केले. या प्रारुपात समस्त लोकसंख्येला तीन गटांत विभागण्यात येते: रोगप्रवण (Susceptible, ज्यांना संसर्ग होण्याची शक्यता आहेत ते), रोगी (Infected, ज्यांना संसर्ग झाला आहेत ते) आणि रोगमुक्त (Recovered, ज्यांची संसर्गातून सुटका झाली आहे ते). लोकांचा प्रवास ‘रोगप्रवण’ गटापासुन ते ‘रोगी’ ते ‘रोगमुक्त’ अश्या क्रमाने होतो असे गृहित धरले जाते. लोकांची अशी श्रेणीबद्ध वाटचाल तीन गणितीय समीकरणांद्वारे मांडता येते हे डॉ. करमॅक आणि डॉ. मॅककेंड्रीक यांनी दाखवून दिले.
समाजात जितके रोगी त्याप्रमाणात रोगप्रवण गटातील लोक रोगी गटात जातील, असे मानले जाते. तसेच रोगाचा विषाणू जितका अधिक संसर्गशील तितक्या चटकन लोक रोगप्रवण गटातून रोगी गटात जाणार, आणि रोगप्रतिकार जितका अधिक तितक्याच चटकन लोक रोगी श्रेणीतून रोगमुक्त श्रेणीत जाणार. त्यामुळे वेगवेगळ्या साथीनुसार प्रारुपाचे स्वरुप थोड्याफार फरकाने बदलत राहते. काळानुरुप या प्रारुपात अनेक बदल घडत गेले, तरिही मुळचा गणितीय ढाचा साधारण सारखाच राहिला आहे.
हे SIR प्रारुप भारतासाठी लागू करुन कोरोनाचा फैलाव कसा होतो, हे पाहण्यापूर्वी या प्रारुपाची गृहितके नेमकेपणाने पाहुयात. संसर्गजन्य रोग तेव्हाच पसरतो जेव्हा रोगप्रवण व्यक्ती रोगी व्यक्तीच्या संपर्कात येते. वरिल प्रारुपात असे गृहीत धरले जात आहे की, सर्वच रोगी व्यक्ती सर्वच रोगप्रवण व्यक्तींच्या संपर्कात येतात. छोट्या लोकसमुहासाठी हे गृहितक योग्य असेलही, पण संपूर्ण देशाच्या लोकसंख्येला मात्र हे गृहितक नक्कीच योग्य नाही. मग यावर उपाय म्हणून संपूर्ण भारतात एकच प्रारुप वापरण्याऐवजी समजा विविध शहरांमध्ये आणि गावांमध्ये स्वतंत्र अशी शेकडो प्रारुपे चालवून बघितली तर? अर्थातच ते जास्त वास्तववादी असेल, पण यात लोकांची स्थलांतरे दुर्लक्षिली जातात.
जेव्हा लोक एका गावातून दुस-या गावात जातात, ते सोबत संसर्ग घेउन जाऊ शकतात, किंवा दुसरीकडे जाऊन स्वतः संसर्गित होऊ शकतात. किंबहूना रोगाचा देशभरातील प्रसार हा लोकांच्या अशा प्रवासामुळेच होतो. एखाद्या ठिकाणी येणारी-जाणारी लोकं रोगप्रवण, रोगी आणि रोगमुक्त यापैकी कोणत्याही गटांतील असू शकतात. याच बरोबर गावातून आत-बाहेर जाणारी लोकसंख्या साधारण सारखीच असल्याने गावाच्या लोकसंख्येत फार फरक पडत नाही. हे सर्व लक्षात घेऊन आम्ही मूळच्या समीकरणामघ्ये बदल करुन नविन समीकरणे तयार केली, ज्यांच्य़ात लोकांचा असा प्रवास सक्षमपणे हाताळता येऊ शकला (तांत्रिक बाबींसाठी मूळ संशोधन निबंध पाहावा).
अर्थात, हे सारं गणिती समीकरणामध्ये जरी मांडता आले तरी भारतात कोणत्या गावातून किती लोक कुठे प्रवास करतात याचा अनुमान बांधणे अगदी जिकिरीचे काम आहे. पण त्याशिवाय प्रत्यक्षात प्रारुप वापरणेही शक्य नाही. म्हणुन आम्ही देशातील प्रवासी जाळे कसे आहे हे बारकाईने पहायला घेतले. दुर्दैवाने देशांतर्गत रस्तेवाहतूकीचा व्यापक असा डेटा उपलब्ध नाही, त्यामुळे आम्ही तूर्तास विमाने आणि रेल्वे यांच्या जाळ्याचा अभ्यास केला. आम्ही भारतातील ३२० शहरे निवडून त्यांतील विमाने आणि रेल्वे यांची उपलब्ध वेळापत्रके धुंडाळून त्यांच्यातील वाहतूकीचे जाळे तयार केले.
जर एका शहरातून दुस-या शहरात थेट विमान किंवा रेल्वे उपलब्ध असेल तर ती दोन शहरे एकमेकांना ‘जोडलेली’ आहेत असे मानायचे. म्हणजेच आमच्या प्रारुपात याच दोन ठिकाणांतील लोक इकडून तिकडे प्रवास करु शकतात. अर्थातच एका शहराला अशी अनेक शहरे जोडलेली असू शकतात. याचा अर्थ जी दोन शहरे एकमेकांना जोडलेली नाहीत, त्यांच्यात रोगाचा फैलाव होणारच नाही असेही नाही. उदाहरणार्थ, जयपूर वरुन अंदमानात थेट वाहतूक नसली तरी लोक, आणि पर्यायाने विषाणू, जयपूर-दिल्ली-अंदमान असा प्रवास करू शकतात. त्यामुळे देशाच्या कोणात्याही शहारात संसर्ग सुरु झाला तरी हळुहळू सर्वदूर पसरतोच.
भारतात रेल्वे हे प्रवासाचे महत्वाचें साधन आहे आणि तिचे जाळे अधिक जटील आहे. आम्ही निवडलेली ३२० शहरे रेल्वेच्या ११३०० दुव्यांनी एकमेकांना जोडलेली आहेत. प्रारुपासाठी विमान आणि रेल्वे यातील मुख्य फरक हा की रेल्वे प्रवास तुलनेने हळू असतो. उदाहरणार्थ पुण्यातील रोग्याला कोलकात्याला पोचायला साधारण दीड-दोन दिवस लागतात. त्यामुळे विमानाच्या तुलनेत रेल्वेमार्फत रोगाचा प्रसार हळू होतो पण रेल्वे अधिक लोकांची ने-आण करते आणि अधिक गावांनाही जोडते.
सुरवातीला आपण फक्त एका शहरात प्रादुर्भाव झाला तर विषाणूचा फैलाव कसा होतो ते बघू. समजा फेब्रुवारीच्या एक तारखेला फक्त दिल्लीमध्ये १०० जणांना लागण झाली आणि देशात फक्त विमानसेवाच सुरू असेल तर आपल्या प्रारुपानुसार निर्माण होणारी परिस्थिती चित्र (१) मध्ये दाखविलेली आहे. पहिले दोन महिने प्रादुर्भाव मुख्यत्वे दिल्ली आणि जोडलेल्या काहीच शहरांपुरता मर्यादित राहतो. पण नंतर अत्यंत झपाट्याने पुढील एकाच महिन्यात विषाणू सर्वदूर पसरेल. अश्या पद्धतीच्या वाढीला गणितात एक्सपोनेंशिअल वाढ असे म्हणतात.
साथ जेव्हा सर्वोच्च असेल तेव्हा देशभरातील बहुतांश लोकसंख्या त्याच्या विषाणूच्या प्रादुर्भावात येऊ शकते आणि पर्यायाने लक्षावधींना रोगाची लागणही होऊ शकते. त्या पार्श्वभूमीवर नुकतेच भारत सरकारने जाहीर केलेले लॉक-डाऊन का महत्वाचे आहे, हेही अधोरेखित होते.
या सर्व पार्श्वभूमीवर ‘सोशल डिस्टंसिंग’ वा ‘क्वारंटाइन’ असे शब्दप्रयोग आपण गेले काही दिवस ऐकत आहोत. अश्या विलगीकरणाच्या प्रक्रियेचा काही परिणाम होतो का, हेही आपण आपल्या प्रारुपातुन तपासून बघू शकतो. समजूया की फक्त पुण्यात विषाणूचा प्रादुर्भाव आहे. एकदा का विषाणूचा प्रसार सुरू झाला की तो विमान आणि रेल्वेमार्फत लवकरच देशभर पसरतो हे आपण पाहिलेच. पैकी सोयीसाठी आपण पुणे, मुंबई आणि दिल्लीत काय परिणाम होतो ते चित्र (२) मध्ये संकलित केले आहे. क्वारंटाइन अथवा इतर उपाययोजना केल्या नाहीत, तर एकट्या मुंबईतील ३० लाख जण विषाणूच्या संपर्कात येऊ शकतात. त्यातील अनेक जण आजारी पडायची शक्यता उद्भवते. अश्या परिस्थितीत आरोग्य यंत्रणांवर येणा-या ताणाची आपण कल्पनाच केलेली बरी. याउलट रोज २% लोकांना क्वारंटाइन केले आणि प्रवासी वाहतूक सुरूच ठेवली तरी विषाणूचा संपर्क ३ लाखाच्या खाली आणता येतो. अर्थातच सर्वच लॉक-डाऊन करणे हा सर्वात प्रभावी पर्याय उरतो.
वरिल चर्चेद्वारे वाचकाला हे लक्षात आले असेल की, गणितीय प्रारुपांचा अधिकाधिक वापर केल्यास संसर्गजन्य रोगांच्या साथीचे पूर्वानुमान बांधणे शक्य आहे. जे आम्ही देशभरासाठी केले ते अधिक खोलात जाऊन राज्य अथवा एका शहरासाठीही करता येऊ शकते. म्हणजे समजा मुंबईच्या एका उपनगरात एखाद्या साथीचा रुग्ण आढळल्यास ती साथ समस्त मुंबईत कशी पसरेल, अश्या प्रश्नांची उत्तरे देणे या प्रारुपातून शक्य आहे. कोणतीही पूर्वानुमाने बिनचूक असू शकत नाहीत आणि अर्थातच गणितीय प्रारुपे याला अपवाद नाहीत. तरिही वैद्यकीय आणि इतर प्रशासकीय यंत्रणांच्या दृष्टीने भविष्यातील आपत्तीचा सर्वसाधारण अंदाज जरी मिळाला तरी सक्षम यंत्रणा उभारण्यास मदत होऊ शकते त्या दृष्टीने अशी प्रारुपे महत्वाची ठरतात.
(दोन्ही लेखक सावित्रीबाई फुले पुणे विद्यापीठातील ‘सेंटर फॉर मॉडेलिंग अॅंड सिम्युलेशन’ येथे शास्त्रज्ञ आहेत.)
The views expressed above belong to the author(s). ORF research and analyses now available on Telegram! Click here to access our curated content — blogs, longforms and interviews.
PREV
